Nyquistov graf: Graf, stabilita, príklady problémov a ich aplikácie

Graf Bode a graf Nyquist sú veľmi obľúbené grafy, najmä pre elektrochemickú impedančnú spektroskopiu alebo údaje EIS medzi elektrochemikmi. Takže, Nyquist Plot je pomenovaný po švédsko-Američanovi, konkrétne „Harry Nyquist“. Je elektroinžinier a vyvinul tento pozemok pre elektronické účely v roku 1932. Počas EIS sa zhromažďuje veľa informácií a tieto zhromaždené informácie je potrebné prezentovať. Takže obrázok poskytuje viac informácií ako sto slov. Takže grafické znázornenie, ako je Nyquistov graf, sa používa na zobrazenie elektrochemickej impedančnej spektroskopie. Tento článok poskytuje informácie o Nyquistov pozemok - fungovanie, výhody a nevýhody.

Nyquistova definícia pozemku

Grafické znázornenie, ktoré je široko používané pre prenosové funkcie, je známe ako Nyquistov graf. Toto je graf frekvenčnej odozvy, ktorý sa používa na hodnotenie riadiaceho systému so stabilitou spätnej väzby. Je to parametrický graf pre skutočnú a imaginárnu časť prenosovej funkcie v rámci komplexnej roviny, pretože parameter frekvencie sa rozprestiera v špecifikovanom intervale. V karteziánskych súradniciach je skutočná časť funkcie prenosu nyquistovho grafu vynesená na osi X, zatiaľ čo imaginárna časť funkcie prenosu je vynesená na osi Y.

Nyquist Plot sa používa v automatickom riadení, ako aj pri spracovaní signálu na analýzu stability, pretože každý si môže okamžite overiť, či slučka s negatívnou spätnou väzbou spĺňa Nyquistov princíp stability. Ak Nyquistov pozemok systém riadenia s otvorenou slučkou pokrýva približne bod nad skutočnou osou, potom je ekvivalentný systém uzavretej slučky nestabilný.

Nyquist Plot Graf

Nyquistove grafy sú rozšírením polárnych grafov, ktoré sa používajú hlavne na hľadanie systémy riadenia s uzavretou slučkou stabilitu jednoduchou zmenou „ω“ z −∞ na ∞. čo znamená, že tieto grafy sa väčšinou používajú na kreslenie celkovej frekvenčnej odozvy prenosovej funkcie s otvorenou slučkou. Nyquistov graf jednoducho vyhodnocuje stabilitu riadiaceho systému so spätnou väzbou. Takže v karteziánskom súradnicovom systéme je skutočná hodnota prenosovej funkcie jednoducho vynesená cez os X, zatiaľ čo imaginárna časť je jednoducho vynesená cez os Y.
Podobný Nyquistov graf možno vysvetliť jednoducho polárnymi súradnicami, kde zisk prenosovej funkcie je radiálna súradnica a fáza prenosovej funkcie je ekvivalentná uhlová súradnica.

Nyquistovu zápletku možno porozumieť znalosťou niektorých používaných terminológií. V Nyquistovom grafe je uzavretá cesta v rámci komplexnej roviny známa ako obrys.

Nyquistova cesta

Nyquistova cesta alebo Nyquistova kontúra je uzavretý obrys v rovine s, ktorý úplne obklopuje celú pravú stranu roviny s. Na uzavretie celkovej RHS lietadla je pozdĺž osi „jω“ a stredu zdroja nakreslený veľký polkruhový pruh. Polomer polkruhu sa jednoducho považuje za Nyquistovo obkľúčenie.

Nyquistovo obkľúčenie

Je známe, že bod je obklopený čiarou, ak sa nachádza v krivke.

Nyquistovo mapovanie

Postup, ktorým sa bod v rovine s zmení na bod v rovine F(s) je známy ako mapovanie a F(s) je známy ako funkcia mapovania.

Analýza stability spätnoväzbového riadiaceho systému závisí hlavne od rozpoznania koreňov polohy pre charakteristickú rovnicu nad rovinou s.

Ak teda koreň na rovine s leží na ľavej strane, potom je riadiaci systém stabilný. Takže relatívnu stabilitu systému možno určiť pomocou rôznych techník frekvenčnej odozvy, ako je Nyquistov graf, Bodeho graf a Nicholsov graf.

Nyquistovo kritérium stability

Nyquistovo kritérium stability sa používa hlavne na rozpoznanie existencie koreňov pre charakteristickú rovnicu v konkrétnej oblasti roviny S. Nyquistovo kritérium stability ako N = Z – P to jednoducho hovorí. „N“ je celkový počet obkľúčení vzhľadom na začiatok, „P“ je počet pólov a „Z“ je celkový počet núl.

V prípade 1: Keď N = 0 (žiadne obkľúčenie), teda Z = P = 0 & Z = P.

Ak N = 0, P by malo byť „0“, takže systém je stabilný.

V prípade 2: Keď je N väčšie ako 0 (obvodenie v smere hodinových ručičiek), teda P = 0, Z ≠0 & Z > P

V týchto dvoch prípadoch je systém nestabilný.

V prípade 3: Keď je N menšie ako 0 (obvodenie proti smeru hodinových ručičiek), teda Z = 0, P ≠0 & P > Z

Systém je teda stabilný.

Ako nakresliť Nyquistov pozemok?

Kreslenie nyquistovho grafu zahŕňa veľa krokov, o ktorých sa hovorí nižšie.

• V kroku 1: Je potrebné skontrolovať póly pre funkciu prenosu s otvorenou slučkou, ako je G(s)H(s) v rovine „s“.
• V kroku 2: Vyberte si správnu Nyquistovu kontúru zahrnutím celej pravej strany roviny S jednoduchým nakreslením polkruhu s polomerom „R“, kde R smeruje k nekonečnu.
• V kroku 3: Rozpoznajte rôzne segmenty na obryse s umiestnením Nyquistovej cesty.
• V kroku 4: Mapovací segment musí prejsť cez segment jednoduchým nahradením príslušnej segmentovej rovnice v mapovacej funkcii. Vo všeobecnosti musíme nakresliť polárne grafy pre konkrétny segment.
• V kroku 5: Vo všeobecnosti sú segmentové mapovanie odrazom obrázkov mapovania pre konkrétnu dráhu kladnej imaginárnej osi.
• V kroku 6: Polkruhový pruh, ktorý pokrýva pravú polovicu roviny, sa normálne mapuje do bodu v rovine G(s) H(s).
• V kroku 7: Prepojte všetky rôzne mapovacie segmenty, aby ste získali potrebný Nyquistov diagram.
• V kroku 8: Všimnite si č. obehov v smere hodinových ručičiek o (-1, 0) a rozhodnúť o stabilite pomocou N = Z – P.

Po nakreslení Nyquistovho grafu môžeme zistiť stabilitu systému riadenia s uzavretou slučkou pomocou Nyquistovho kritéria stability. Takže, ak kritický bod (-1+j0) leží na vonkajšej strane obkľúčenia, potom je riadiaci systém s uzavretou slučkou úplne stabilný.

Prenosová funkcia s otvorenou slučkou je G(S)H(S) = N(S)/D(S).

Prenosová funkcia v uzavretej slučke je G(S)/1+ G(S)H(S).

N(s) = nula je nula otvorenej slučky a D(s) je pól otvorenej slučky.

Z hľadiska stability nesmú na pravej strane roviny S ležať žiadne póly s uzavretou slučkou. Charakteristická rovnica ako 1 + G(s) H(s) rovná nule znamená póly s uzavretou slučkou.

Keď 1 + G(s) H(s) sa rovná nule, tak q(s) musí byť nula.

Takže z hľadiska stability by nuly q(s) nemali ležať v pravostrannej rovine s-roviny.
Na popísanie sily je potrebné zvážiť celú RHP. Takže si predstavíme polkruh, ktorý zahŕňa všetky body v RHP, pričom vezmeme do úvahy polomer polkruhu „R“, ktorý má tendenciu k nekonečnu.

Analýza stability s Nyquistovým grafom

Z Nyquistovho grafu môžeme rozpoznať, či je riadiaci systém stabilný, nestabilný alebo okrajovo stabilný v závislosti od hodnôt parametrov.

• Zisk krížovej frekvencie a fázovej krížovej frekvencie.
• Rozpätie zisku a rozpätie fázy.

Krížová frekvencia fázy.

Frekvencia, v ktorej sa Nyquistov graf stretáva so zápornou reálnou osou, sa nazýva fázová krížová frekvencia a označuje sa ωpc.

Zisk krížovej frekvencie

Frekvencia, v ktorej má Nyquistov graf jednu veľkosť, sa nazýva prechodová frekvencia zisku a označuje sa ako ωgc.

Stabilita riadiaceho systému založená na hlavnom vzťahu medzi dvoma frekvenciami, ako je fázový prechod, ako aj prechod zisku, je diskutovaná nižšie.

• Ak je ωpc vyšší v porovnaní s ωgc, potom je riadiaci systém stabilný.
• Ak je ωpc ekvivalentné ωgc, potom je riadiaci systém mierne stabilný.
• Ak je ωpc menšie v porovnaní s ωgc, potom riadiaci systém nie je stabilný.

Získajte maržu

Rozpätie zisku je ekvivalentné recipročnej hodnote veľkosti Nyquistovho grafu pri frekvencii prechodu fázy.

Marža zisku (GM) = 1/Mpc

Kde „Mpc“ je veľkosť v rámci normálnej stupnice pri ωpc alebo fázovej krížovej frekvencii

Rozpätie fázy

Fázová rezerva je ekvivalentná súčtu 180 stupňov a fázového uhla pri ωgc alebo výhybkovej frekvencii zisku.

PM = 1800 + ϕgc

Kde ϕgc je fázový uhol pri deliacej frekvencii zisku (ωgc).

Stabilita riadiaceho systému závisí od hlavného vzťahu medzi dvoma okrajmi, ako je zisková rezerva a fázová rezerva uvedená nižšie.

Ak je zisková rezerva vyššia ako jedna a fázová marža je kladná, potom je riadiaci systém stabilný.

Ak je zisková rezerva ekvivalentná jednej a fázová marža je „0“ stupňov, potom je riadiaci systém mierne stabilný.

Ak je zisková rezerva nižšia ako jedna a fázová marža je záporná, potom riadiaci systém nie je stabilný.

Nyquistov príklad problémov s grafom

Ex1: Ak Nyquistov graf pretína zápornú skutočnú os vo vzdialenosti 0,6, aká je potom zisková rezerva systému?

Vieme, že ziskovú rezervu systému možno definovať ako množstvo zmeny potrebnej v rámci zisku v otvorenej slučke, aby sa systém s uzavretou slučkou stal nestabilným.

Marža zisku alebo GM = 1/|G| wpc

Kde, zisk systému je |G| a wpc je fázová medzná frekvencia.

Fázová medzná frekvencia môže byť definovaná ako; frekvencia, pri ktorej je zisk systému „0“.

Gm = 1/0,6 = 1,66

Ex2: Prenosová funkcia systému s otvorenou slučkou systému so zápornou spätnou väzbou zosilnenia jednoty môže byť daná ako G(s) = 1/S(S+1). Nyquistova krivka v rovine S zahŕňa celú rovinu pravej strany a malú oblasť okolo začiatku na ľavej strane znázornenú v nasledujúcom grafe. Nie. obvodov bodu (-1+j0) cez G(S) Nyquistov graf, ekvivalentný Nyquistovmu obrysu, ktorý je označený ako „N“, potom „N“ ekvivalentný?

Nie. obvodov pre (-1+ j0) významný bod je daný cez N = P-Z.

Kde „N“ je počet obkľúčení tohto kritického bodu v smere proti smeru hodinových ručičiek.

„P“ je počet pólov s otvorenou slučkou na pravej strane roviny S.

„Z“ je počet pólov s uzavretou slučkou na pravej strane roviny S.

N = P pre stabilitu Z = 0.

Vyššie uvedený vzorec je platný len vtedy, keď je Nyquistova krivka definovaná pre pravú stranu roviny S a póly sú vylúčené pri zdroji. Otáčanie krivky by malo byť v smere hodinových ručičiek a obkľúčenie kritického bodu je v smere proti smeru hodinových ručičiek.

G(s) = 1/S(S+l).

Póly s otvorenou slučkou sú prítomné pri S = 0,-1

Prenosová funkcia uzavretej slučky = 1/S^2+S+1

Číslo uzavretého pólu nad pravou stranou je nula.

Ale Nyquistov obrys je definovaný pre celkovú polovičnú stranu roviny S a obsahuje aj pól na začiatku.

Pri S=0 sa teda pól s otvorenou slučkou považuje za pól na pravej strane roviny S.

N = P-Z =>1-0 =>1

Výhody a nevýhody

The výhody pozemku Nyquist zahŕňajú nasledujúce.

• Nyquistov graf je mimoriadne užitočný nástroj pri určovaní stability systému.
• Má mnoho výhod oproti Routh-Horwitz & root locus, pretože jednoducho spravuje časové oneskorenia.
• Je to však veľmi užitočné, pretože nám poskytuje metódu na využitie Bodeho grafu na rozhodnutie o stabilite.
• Pomocou toho možno rozhodnúť o stabilite riadiaceho systému.
• Prenosová funkcia s otvorenou slučkou sa zistí jednoduchým meraním jej frekvenčnej odozvy.
• V porovnaní s koreňovým lokusom je lepší z hľadiska časového oneskorenia, čo znamená, že Nyquistov graf môže jednoducho riadiť časové oneskorenie v rámci systému.
• Dokáže nájsť frekvenčnú odozvu funkcie prenosu s otvorenou slučkou.
• Nájde č. dostupných pólov na pravej strane roviny s.
• Nájde relatívnu stabilitu systému/

The nevýhody Nyquistovej zápletky zahŕňajú nasledujúce.

• Nyquistov graf využíva niektoré zložité matematické metódy.
• Nemôže vyriešiť úplnú silu systému.
• Neposkytuje presné informácie o dostupných póloch na pravej strane roviny s.

Aplikácie Nyquistovho grafu

Aplikácie Nyquistovho sprisahania zahŕňajú nasledujúce.

• Nyquistov graf sa používa na stanovenie stability systému prostredníctvom grafického procesu vo frekvenčnej doméne.
• Nyquistov graf alebo graf frekvenčnej odozvy sa používa hlavne v riadiacej technike a spracovaní signálu.
• Toto je rozšírenie pre polárne grafy, ktoré sa používa na nájdenie stability riadiaceho systému s uzavretou slučkou.
• Je to mimoriadne užitočný nástroj pri určovaní stability systému.
• Pomocou Nyquistovho grafu môžeme sledovať vzdialenosť medzi dvoma bodmi (–1, 0) a bodom, kde krivka pretína zápornú reálnu os.

Ako sa Nyquistov graf používa na určenie stability?

Stabilitu možno určiť pomocou Nyquistovho grafu jednoduchým pohľadom na č. obvodov bodu (−1, 0). Rozmanitosť ziskov, na ktorých bude systém stabilný, možno určiť pohľadom na skutočné kríženia osí. Tento graf poskytuje niektoré údaje týkajúce sa tvaru prenosovej funkcie.

Aké sú Nyquistove kritériá pre odber vzoriek?

Nyquistove kritériá vyžadujú, aby vzorkovacia frekvencia bola minimálne dvojnásobkom maximálnej frekvencie obsiahnutej v signáli. Ak je vzorkovacia frekvencia nižšia ako dvojnásobok najvyššej frekvencie analógového signálu, dôjde k javu nazývanému aliasing.

Čo sa používa pre Nyquist Plot?

Pre Nyquist Plot sa používa funkcia prenosu s otvorenou slučkou.

Čo je Nyquistovo pravidlo?

Nyquistovo pravidlo jednoducho uvádza, že periodický signál by sa mal vzorkovať pri vyššej ako dvojnásobku maximálnej frekvenčnej zložky signálu. V skutočnosti, pretože dostupný čas je obmedzený, vzorkovacia frekvencia je o niečo vyššia, ako vyžaduje.

Čo je Nyquistov vzorec bitovej rýchlosti pre Noiseless?

Nyquist jednoducho uvádza, že v kanáli „B“ so šírkou pásma môžete prenášať až 2B ortogonálnych signálov za každú sekundu, teda Rp ≤ 2B, bez ohľadu na to, kde „Rp“ je frekvencia impulzov.

Čo predstavuje Nyquistov dej?

Nyquistov graf predstavuje niektoré informácie týkajúce sa formy prenosovej funkcie. Tak napríklad; tento graf poskytuje informácie o variácii medzi č. pólov a núl prenosovej funkcie cez uhol, v ktorom krivka dosiahne začiatok.

Teda toto je prehľad pozemku Nyquist - výhody, nevýhody a ich použitie. Nyquistove grafy sa používajú na analýzu vlastností riadiaceho systému, ako je stabilita, fázová rezerva a zisková rezerva. Nyquistov graf pomocou Matlabu nám pomáha pri vytváraní Nyquistovho grafu súvisiaceho s frekvenčnou odozvou generovanou prostredníctvom adynamického modelu. Tu je pre vás otázka, čo je to bodový zápletka?